Discontinuous Galerkin-Verfahren für zeitabhängige Advektions-Diffusions-Gleichungen

Abstract

Discontinuous-Galerkin-Verfahren erscheinen vor allem im Bereich der numerischen Strömungsmechanik als diejenigen Kandidaten, die für numerische Simulationen in komplexen Geometrien einen Sprung in der Effizienz bewerkstelligen können. So gelingt mit diesen Verfahren die Kombination von hoher Genauigkeit im Bereich von glatten Lösungen und die Auflösung lokaler starker Gradienten auch auf sehr allgemeinen unstrukturierten Gittern. Wir beschreiben im Folgenden eine Klasse von expliziten Discontinuous-Galerkin-Verfahren, wie sie für zeitabhängige Advektions-Diffusions-Gleichungen eingesetzt werden. Als Prädiktor-Korrektor-Verfahren im Raum-Zeit-Bereich formuliert sind sie von Seiten der Konstruktion von beliebiger Ordnung in Raum und Zeit. Eine Adaption an die lokalen Eigenschaften der Lösung bei Mehrskalenproblemen kann durch Gitterverfeinerung oder durch Veränderung der Genauigkeitsordnung erreicht werden. Adaptivität wird auch lokal in der Zeitapproximation ausgeführt: Jede Gitterzelle schreitet mit dem nach der lokalen Stabilitätsbedingung optimalen Zeitschritt vorwärts. Numerische Ergebnisse werden für unterschiedliche Probleme vorgestellt. Aus dem Bereich der Aeroakustik zeigen wir die Lärmentwicklung und Lärmausbreitung des Verdichters eines Turbinen-Triebwerks, aus dem Bereich der Strömungsmechanik die Zeitentwicklung eines Überschallstrahls im Ansaugrohr eines mit Erdgas angetriebenen Motors und die Umströmung einer Kugel.